수학의 세계에서 가장 감정적이고 역동적인 기호를 하나 꼽으라면, 단연코 느낌표(!)로 표기되는 '팩토리얼(Factorial, 계승)'일 것입니다. 1부터 어떤 양의 정수 n까지의 정수를 모두 곱한다는 단순한 정의를 가지고 있지만, 그 결괏값은 우리의 상상을 초월하는 속도로 거대해지기 때문에 수학자들조차 이 연산을 마주할 때마다 경이로움을 느끼곤 합니다. 엑셀의 FACT 함수는 이러한 거대한 수의 우주를 단 하나의 수식으로 탐험하게 해주는 강력한 도구이자, 경우의 수와 확률 통계를 이해하는 가장 기초적이면서도 필수적인 열쇠입니다. 본 글에서는 팩토리얼의 수학적 의미부터, 엑셀 FACT 함수를 활용한 급격한 증가량의 시각화, 그리고 실생활 속 순서 나열 문제 해결법까지 심도 있게 다루어 여러분의 데이터 분석 능력을 논리적인 차원으로 끌어올려 드리겠습니다.
1. 놀라움의 연속, 팩토리얼(!)의 정의와 FACT 함수의 문법
우리가 흔히 문장의 끝에서 강한 감정을 표현할 때 사용하는 느낌표(!)가 수학에서는 '계승'이라는 특별한 연산 기호로 변모합니다.
수학적으로 $n!$ (n 팩토리얼)은 $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$을 의미하며, 이는 1부터 n까지의 모든 자연수를 곱하는 '카운트업(Count-up)' 혹은 '카운트다운(Count-down)' 곱셈을 상징합니다.
예를 들어 $3!$은 $1 \times 2 \times 3 = 6$이 되고, $5!$은 $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$이 됩니다.
이 단순해 보이는 연산이 중요한 이유는, 이것이 바로 서로 다른 n개의 대상을 '순서대로 나열하는 모든 경우의 수'와 정확히 일치하기 때문입니다.
엑셀은 이러한 반복적인 곱셈 작업을 사용자가 일일이 수행하지 않도록 FACT 함수를 제공하고 있으며, 그 문법은 =FACT(number)로 엑셀 함수 중에서도 가장 단순하고 직관적인 형태를 띠고 있습니다.
사용자는 그저 괄호 안에 구하고 싶은 정수(또는 셀 주소)만 넣으면, 엑셀이 내부적으로 순식간에 연산을 수행하여 정답을 반환합니다.
만약 소수점이 있는 실수를 입력할 경우, 엑셀은 자동으로 소수점 이하를 버림(Truncate) 처리하여 정수로 변환한 뒤 팩토리얼을 계산하는 융통성을 발휘합니다.
이 함수를 처음 접하는 순간, 여러분은 복잡한 확률 계산의 문을 여는 첫 번째 마스터키를 쥐게 되는 것입니다.
2. 기하급수적 증가, 팩토리얼이 보여주는 수의 폭발력
FACT 함수를 다루면서 가장 먼저 체감하게 되는 것은 바로 숫자가 커지는 속도, 즉 '기하급수적인 증가(Exponential Growth)'의 무서움입니다.
초반의 작은 숫자들, 이를테면 1, 2, 3 정도에서는 결과값이 1, 2, 6으로 얌전하게 증가하는 것처럼 보입니다.
하지만 숫자가 조금만 커져도 팩토리얼의 결과는 마치 로켓이 발사되듯 수직 상승하며 통제 불가능한 영역으로 진입합니다.=FACT(5)는 120에 불과하지만, =FACT(10)은 무려 3,628,800이라는 360만이 넘는 숫자가 되고, =FACT(15)에 이르면 1,307,674,368,000이라는 1조 3천억 대의 천문학적인 숫자로 돌변합니다.
이러한 폭발적인 증가세는 왜 10자리 비밀번호를 무차별 대입(Brute Force)으로 뚫는 것이 사실상 불가능한지, 왜 트럼프 카드 52장을 섞는 경우의 수가 우주의 원자 개수보다 많은지를 수학적으로 증명해 줍니다.
엑셀에서 FACT 함수를 사용할 때 주의해야 할 점도 바로 여기에 있습니다.
엑셀이 표현할 수 있는 숫자의 한계 때문에, 170을 초과하는 숫자(=FACT(171))를 입력하면 엑셀은 더 이상 계산을 감당하지 못하고 #NUM! 오류를 송출하며 백기를 듭니다.
따라서 실무에서 팩토리얼을 사용할 때는 이러한 숫자의 규모를 미리 가늠하고, 데이터가 오버플로우(Overflow) 되지 않도록 관리하는 신중함이 요구됩니다.
FACT 함수는 단순한 계산기를 넘어, 우리에게 '무한'으로 향하는 숫자의 웅장함과 두려움을 동시에 가르쳐주는 철학적인 도구이기도 합니다.
3. 줄 세우기의 미학, 순열과 확률 통계에서의 실전 응용
FACT 함수가 빛을 발하는 순간은 바로 '순서'와 관련된 현실의 문제를 해결할 때입니다.
가장 대표적인 예시는 '줄 세우기' 문제입니다.
만약 5명의 친구가 놀이공원에 가서 롤러코스터의 5개 좌석에 나란히 앉으려 할 때, 서로 자리를 바꾸어 앉을 수 있는 모든 방법의 수는 몇 가지일까요?
이때 고민할 것 없이 엑셀에 =FACT(5)를 입력하면 120가지라는 답이 즉시 도출됩니다.
이는 첫 번째 자리에 앉을 수 있는 사람이 5명, 두 번째 자리는 남은 4명... 이런 식으로 $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$의 논리가 적용되기 때문입니다.
이러한 원리는 비즈니스 현장에서도 유용하게 쓰이는데, 예를 들어 6곳의 거래처를 하루 동안 방문해야 하는 영업 사원이 '방문 순서(Route)'를 짜는 시나리오를 생각해 봅시다.
가능한 모든 경로의 수는 =FACT(6)인 720가지이며, 영업 관리자는 이 720가지의 경우의 수 중에서 이동 거리가 가장 짧은 최적의 경로를 찾아내는 의사결정을 수행하게 됩니다.
이것이 바로 물류 최적화 문제의 고전인 '외판원 문제(Traveling Salesman Problem)'의 기초가 되는 개념입니다.
더 나아가 FACT 함수는 앞서 배웠던 PERMUT(순열) 함수와 COMBIN(조합) 함수의 내부 엔진 역할을 수행합니다.
순열 $_nP_r$의 공식이 $\frac{n!}{(n-r)!}$이고, 조합 $_nC_r$의 공식이 $\frac {n!}{r!(n-r)!}$이라는 점을 상기해 보면, 팩토리얼이 확률 통계의 근간을 이루는 핵심 부품임을 알 수 있습니다.
또한, 엑셀은 FACTDOUBLE 함수라는 흥미로운 변형 함수도 제공합니다.
이는 숫자 하나씩 건너뛰며 곱하는 '이중 팩토리얼(Double Factorial)'을 계산해 주는데, 예를 들어 =FACTDOUBLE(6)은 $6 \times 4 \times 2$를, =FACTDOUBLE(7)은 $7 \times 5 \times 3 \times 1$을 계산합니다.
이러한 심화 함수들은 고도의 통계 분석이나 물리학적 계산이 필요한 특수 상황에서 연구자들에게 큰 도움을 줍니다.
결국 엑셀의 FACT 함수를 능숙하게 다룬다는 것은, 단순히 곱셈을 빨리하는 것을 넘어 세상의 모든 '배열'과 '가능성'을 통제할 수 있는 통계적 사고력을 갖추었음을 의미합니다.
마무리하며
오늘은 느낌표(!)라는 강렬한 기호 속에 숨겨진 숫자의 폭발적인 증가와, 이를 엑셀로 손쉽게 계산하는 FACT 함수의 원리 및 활용법에 대해 심도 있게 알아보았습니다.
핵심 요약:
- FACT 함수는 1부터 n까지의 곱을 계산하며, 순서대로 나열하는 경우의 수를 구할 때 사용합니다.
- 팩토리얼 값은 기하급수적으로 증가하므로, 암호학이나 알고리즘 효율성을 분석하는 중요한 척도가 됩니다.
- 170! 이상의 숫자는 엑셀에서 계산할 수 없으며, FACTDOUBLE과 같은 파생 함수를 통해 응용 범위를 넓힐 수 있습니다.
이제 여러분은 줄 세우기 문제나 복잡한 경우의 수 앞에서 당황하지 않고, 엑셀을 통해 즉각적으로 정답을 산출해 내는 논리적인 문제 해결사가 되었습니다. 오늘 배운 팩토리얼의 개념을 바탕으로 데이터 속에 숨겨진 무한한 가능성을 탐험해 보시기 바랍니다.
다음 포스팅에서는 나눗셈의 나머지를 구하여 주기적인 패턴이나 배수를 판별하는 MOD 함수의 스마트한 활용법에 대해 상세히 다뤄보겠습니다. 도움이 되셨다면 공감과 댓글 부탁드립니다!